Proposición 6.11

Enunciado

Sean $X$ e $Y$ espacios topológicos, $x_{0} \in X$ , y $H$ una homotopía entre las aplicaciones continuas $f, g : X \to Y$ . Si definimos:

σ (t) := H (x_{0}, t)

entonces se cumple ^[1]

\hat{σ} \circ f_{*} = g_{*}

Es decir:
![[diagram-20250427.svg#invert_B]]

Demostración

Sea $[α] \in π_{1} (X, x_{0})$ ^[2] y $F$ la homotopía definida como:
![[Proposición 6.11.svg#invert_B]]
Por lo que $F (x, t) = H (α (x), t)$ . Asimismo,

F (x, 0) = H (α (x), 0) = f (α (x)) = (f \circ α) (x) F (x, 1) = H (α (x), 1) = g (α (x)) = (g \circ α) (x)

Queremos comprobar que

\hat{σ} \circ f_{*} ([α]) = g_{*} ([α]) ⟺ [\bar{σ}] * [f \circ α] * [σ] = [g \circ α] ⟺ [\bar{σ} * f \circ α * σ] = [g \circ α]

Definimos los arcos $σ_{1} := f \circ α : I \to Y$ y $σ_{2} := g \circ α : I \to Y$ , homotópicos en $Y$ ^[3]. De esta manera, solo hace falta ver que:

σ_{2} \sim_{p} \bar{σ} * σ_{1} * σ .

Por el lema 6.10, existen arcos $τ_{1} (t) = F (0, t) = H (α (0), t) = H (x_{0}, t) = σ (t)$ y $τ_{2} = F (1, t)$ tales que ^[4]$$\sigma_{2}\sim_{p}\bar{\tau}{1} * \sigma*\tau_{2}.$$Ahora, usando la última parte del lema 6.10, ya que tanto $σ_{1}$ como $σ_{2}$ son lazos basados en $f (x_{0})$ y $g (x_{0})$ , respectivamente, se tiene que $τ_{1} = σ$ a la vez que $τ_{2} = τ_{1} = σ$ . Como conclusión:

σ_{2} \sim_{p} {\bar{τ}}_{1} * σ_{1} * τ_{2} \sim_{p} \bar{σ} * σ_{1} * σ ⟺ [g \circ α] = [\bar{σ} * f \circ α * σ] .

Nota al margen

Se cumple, al ser lazos, que

f (α (0)) = f (x_{0}) = f (α (1)) g (α (x_{0})) = g (x_{0}) = g (α (1))

La composición de sigma gorro con el homomorfismo inducido por $f$ es igual al homomorfismo inducido por $g$ . ↩︎
Tomamos una clase de lazos basados en $x_{0}$ del grupo fundamental. ↩︎
Pues $F (x, 0) = (f \circ α) (x_{0})$ y $F (x, 1) = (g \circ α) (x_{0})$ . ↩︎
En efecto, $τ_{1}$ une $σ_{1} (0) = (f \circ α) (0) = F (0, 0)$ con $σ_{2} (0) = (g \circ α) (0) = F (0, 1)$ . A la vez que $τ_{2}$ une $σ_{1} (1) = F (1, 0)$ con $σ_{2} = F (1, 1)$ . ↩︎